分形幾何與分形藝術(shù)

　　我們?nèi)祟惿畹氖澜缡且粋€(gè)極其復(fù)雜的世界學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測(cè)的股市變化、復(fù)雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線、

　　坑坑洼洼的地面等等，都表現(xiàn)了客觀世界特別豐富的現(xiàn)象學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大?；趥鹘y(tǒng)歐幾里得幾何學(xué)的各門自然科學(xué)總是把研究對(duì)象想象成一個(gè)個(gè)規(guī)

　　則的形體，而我們生活的世界竟如此不規(guī)則和支離破碎，與歐幾里得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的復(fù)雜性學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。分形幾何則提供了

　　一種描述這種不規(guī)則復(fù)雜現(xiàn)象中的秩序和結(jié)構(gòu)的新方法學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。

　　一、分形幾何與分形藝術(shù)

　　什么是分形幾何？通俗一點(diǎn)說就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。什么是自相似呢？例如一棵蒼天大

　　樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，在形狀上沒什么大的區(qū)別，大樹與樹枝這種關(guān)系在幾何形狀上稱之為自相似關(guān)系；我們?cè)倌脕?/p>

　　一片樹葉學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，仔細(xì)觀察一下葉脈，它們也具備這種性質(zhì)；動(dòng)物也不例外，一頭牛身體中的一個(gè)細(xì)胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信

　　息；還有高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。這些例子在我們的身邊到處可見。分形幾何揭示了世界的本

　　質(zhì)，分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。

　　"分形"一詞譯于英文Fractal學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁語Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞

　　本身具有"破碎"、"不規(guī)則"等含義學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，他發(fā)現(xiàn)整個(gè)宇宙以

　　一種出人意料的方式構(gòu)成自相似的結(jié)構(gòu)（見圖1）學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。Mandelbrot 集合圖形的邊界處，具有無限復(fù)雜和精細(xì)的結(jié)構(gòu)。如果計(jì)算機(jī)的精度

　　是不受限制的話，您可以無限地放大她的邊界學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。圖2、圖3 就是將圖1中兩個(gè)矩形框區(qū)域放大后的圖形。當(dāng)你放大某個(gè)區(qū)域，它的結(jié)構(gòu)

　　就在變化，展現(xiàn)出新的結(jié)構(gòu)元素學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。這正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸線"，無論您怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即

　　連續(xù)不可微學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。微積分中抽象出來的光滑曲線在我們的生活中是不存在的。所以說，Mandelbrot集合是向傳統(tǒng)幾何學(xué)的挑戰(zhàn)。

　　圖 1 Mandelbrot集合

　　圖 2 Mandelbrot集合局部放大

　　圖 3 Mandelbrot集合局部放大

　　用數(shù)學(xué)方法對(duì)放大區(qū)域進(jìn)行著色處理，這些區(qū)域就變成一幅幅精美的藝術(shù)圖案，這些藝術(shù)圖案人們稱之為"分形藝術(shù)"學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。"分形藝術(shù)"以

　　一種全新的藝術(shù)風(fēng)格展示給人們，使人們認(rèn)識(shí)到該藝術(shù)和傳統(tǒng)藝術(shù)一樣具有和諧、對(duì)稱等特征的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。這里值得一提的是對(duì)稱特

　　征，分形的對(duì)稱性即表現(xiàn)了傳統(tǒng)幾何的上下、左右及中心對(duì)稱學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。同時(shí)她的自相似性又揭示了一種新的對(duì)稱性，即畫面的局部與更大范

　　圍的局部的對(duì)稱，或說局部與整體的對(duì)稱學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。這種對(duì)稱不同于歐幾里德幾何的對(duì)稱，而是大小比例的對(duì)稱，即系統(tǒng)中的每一元素都反映

　　和含有整個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)和信息學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。這一點(diǎn)與上面所講的例子："一頭牛身體中的一個(gè)細(xì)胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信息"，完全

　　吻合學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。不管你是從科學(xué)的觀點(diǎn)看還是從美學(xué)的觀點(diǎn)看，她都是那么富有哲理，她是科學(xué)上的美和美學(xué)上的美的有機(jī)結(jié)合。

　　二、復(fù)平面中的神奇迭代

　　Mandelbrot集合是Mandelbrot在復(fù)平面中對(duì)簡(jiǎn)單的式子 Z - Z^2 + C 進(jìn)行迭代產(chǎn)生的圖形學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。雖然式子和迭代運(yùn)算都很簡(jiǎn)單，但是產(chǎn)

　　生的圖形出現(xiàn)那么豐富多樣的形態(tài)及精細(xì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)直令人難以置信以至于不可思議學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。在傳統(tǒng)幾何學(xué)中難以找到如此簡(jiǎn)單的規(guī)律隱藏著如

　　此復(fù)雜而生動(dòng)的例子學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。Mandelbrot集合告訴我們自然界中簡(jiǎn)單的行為可以導(dǎo)致復(fù)雜的結(jié)果。例如，大型團(tuán)體操中每個(gè)人穿的衣服只有

　　幾種顏色中的一種，每個(gè)人的動(dòng)作也只是導(dǎo)演規(guī)定的幾種之一學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。但是整體上可以顯示出多種多樣的復(fù)雜形態(tài)。

　　Julia 集合

　　在復(fù)平面上，水平的軸線代表實(shí)數(shù)，垂直的軸線代表虛數(shù)學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。每個(gè)Julia集合（有無限多個(gè)點(diǎn)）都決定一個(gè)常數(shù)C，它是一個(gè)復(fù)數(shù)?，F(xiàn)在

　　您在復(fù)平面上任意取一個(gè)點(diǎn)，其值是復(fù)數(shù)Z學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。將其代入下面方程中進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算：

　　就是說，用舊的Z自乘再加上C后的結(jié)果作為新的Z學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。再把新的Z作為舊的Z，重復(fù)運(yùn)算。 當(dāng)你不停地做，你將最后得到的Z值有3種可能

　　性：

　　 1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）

　　 2、Z值衰減（趨向于零）

　　 3、Z值是變化的學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，即非1或非2

　　趨向無窮和趨向于零的點(diǎn)叫定常吸引子，很多點(diǎn)在定常吸引子處結(jié)束，被定常吸引子所吸引學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。非趨向無窮和趨向于零的點(diǎn)是"Julia集

　　合"部分，也叫混沌吸引子學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。

　　問題是我們?cè)鯓硬拍茏層?jì)算機(jī)知道哪一個(gè)點(diǎn)是定常吸引子還是"Julia集合"學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。一般按下述算法近似計(jì)算：

　　 n=0;

　　 while ((n++ Nmax) (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) Rmax))

　　 Z=Z*Z+C;

　　其中：Nmax為最大迭代次數(shù)

　　 Rmax為逃離界限

　　退出while循環(huán)有兩種情況學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，第一種情況是：

　　 (Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) = Rmax

　　屬于這種情況的點(diǎn)相當(dāng)于"1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）"，為定常吸引子,我們把這些區(qū)域著成白色學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。第二種情況是：

　　 n = Nmax

　　屬于這種情況的點(diǎn)相當(dāng)于"2、Z 值衰減（趨向于零）"或"3、Z 值是變化的"，我們把這些區(qū)域著成黑色學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。黑色區(qū)域圖形的邊界處即為

　　"Julia集合"學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。"Julia集合"有著極其復(fù)雜的形態(tài)和精細(xì)的結(jié)構(gòu)。

　　黑白兩色的圖形藝術(shù)感染力不強(qiáng)學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。要想得到彩色圖形，最簡(jiǎn)單的方法是用迭代返回值n來著顏色。要想獲得較好的藝術(shù)效果，一般對(duì)n

　　做如下處理：

　　 Red = n*Ar+Br;

　　 Grn = n*Ag+Bg;

　　 Blu = n*Ab+Bb;

　　 if ((Red 0x1FF) 0xFF) Red = Red ^ 0xFF;

　　 if ((Grn 0x1FF) 0xFF) Grn = Grn ^ 0xFF;

　　 if ((Blu 0x1FF) 0xFF) Blu = Blu ^ 0xFF;

　　其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb為修正量

　　獲得的Red、Grn、Blu為RGB三基色，著色效果為周期變化，具有較強(qiáng)的藝術(shù)感染力，而且等位線也蘊(yùn)藏在周期變化的色彩之中學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。

　　你可以想象得出，在屏幕上順序的試用每個(gè)像素點(diǎn)來反復(fù)迭代方程要花費(fèi)很長的時(shí)間學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。一幅 1024x768 屏幕尺寸的畫面有786432個(gè)點(diǎn)。

　　其中一些點(diǎn)在計(jì)算機(jī)上要反復(fù)迭代方程次數(shù)達(dá)1000次（取決于Nmax的取值）或更多次才放棄運(yùn)算學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。 運(yùn)算產(chǎn)生一幅Julia集合需要花費(fèi)

　　很長的時(shí)間，有時(shí)需要產(chǎn)生一幅做海報(bào)用的大圖像時(shí)，如 10240x7680，要花幾天的時(shí)間學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。當(dāng)然，你使用高速計(jì)算機(jī)會(huì)縮短這個(gè)時(shí)間。

　　圖 4、5、6是三幅Julia集合：

　　圖 4 象塵埃一樣的結(jié)構(gòu)

　　圖 5 穩(wěn)定的固態(tài)型

　　圖 6 象樹枝狀

　　Mandelbrot 集合

　　將Mandelbrot集合和Julia集合聯(lián)系在一起，Julia集合有若干類型，都包含在Mandelbrot集合之中學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。Julia集合中的C是一個(gè)常量，而

　　Mandelbrot集合的C是由進(jìn)入迭代前的Z值而定學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。迭代結(jié)果，Z值同樣有3種可能性，即：

　　 1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）

　　 2、Z值衰減（趨向于零）

　　 3、Z值是變化的學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，即非1或非2

　　Mandelbrot集合是所有的朱莉婭集合的合并，Mandelbrot集合的某個(gè)區(qū)域放大后就是這個(gè)點(diǎn)的Julia集合學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。 Mandelbrot集合有著一些

　　很異國情調(diào)并且古怪的形狀（見圖1）學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。你能不停地永遠(yuǎn)放大Mandelbrot集合，但是受到計(jì)算機(jī)精度的限制。

　　Newton/Nova 分形

　　Newton奠定了經(jīng)典力學(xué)、光學(xué)和微積分學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。但是除了創(chuàng)造這些自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科外，他還建立了一些方法，這些方法雖然比

　　不上整個(gè)學(xué)科那么有名，但已被證明直到今天還是非常有價(jià)值的學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。例如，牛頓建議用一個(gè)逼近方法求解一個(gè)方程的根。你猜測(cè)一個(gè)初

　　始點(diǎn)，然后使用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，用切線逐漸逼近方程的根學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。如方程 Z^6 + 1 = 0有六個(gè)根，用牛頓的方法"猜測(cè)"復(fù)平面上各點(diǎn)最后

　　趨向方程的那一個(gè)根，你就可以得到一個(gè)怪異的分形圖形學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。和平常的Julia分形一樣，你能永遠(yuǎn)放大下去，并有自相似性。 牛頓分形

　　圖形中的顏色顯示每個(gè)答案的種類及性質(zhì)學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，即迭代到目的地花費(fèi)的時(shí)間，如圖7所示：

　　圖7 Newton分形

　　Paul Derbyshire研究牛頓分形圖形時(shí)學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，他把Julia集合的常值C加入進(jìn)去改變了一下算法，并用同樣的方法去估算Z，逼近答案，產(chǎn)生

　　奇特的并稱之為"Nova"的分形圖形學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。"Nova"類型分形圖形如圖8所示：

　　圖 8 Nova分形

　　三、關(guān)于分形藝術(shù)的爭(zhēng)論

　　把計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的圖形看成是藝術(shù)，有人可能要提出一些疑問學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。這些圖形可以利用高品質(zhì)的打印機(jī)產(chǎn)生任意多幅同樣質(zhì)量的"原作"，從

　　而在商業(yè)化的藝術(shù)市場(chǎng)上造成混亂學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，因此她沒有收藏價(jià)值，沒有收藏價(jià)值的作品還能算得上是藝術(shù)嗎？

　　這是一個(gè)十分敏感的問題學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。早在六十年代初有些數(shù)學(xué)家和程序設(shè)計(jì)人員就開始利用計(jì)算機(jī)及繪圖設(shè)備從事這方面的工作。但他們大部

　　分人避免將自己的工作與"藝術(shù)"一詞掛起鉤來，以免與藝術(shù)界的人們發(fā)生沖突學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。但是有一些人還是挺著腰桿去面對(duì)批評(píng)，承認(rèn)計(jì)算機(jī)

　　是視覺藝術(shù)的一種新工具，稱他們自己的方法為"計(jì)算機(jī)藝術(shù)"學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。在批評(píng)面前，他們沒有受到影響。他們不顧理論界的反對(duì)而繼續(xù)自己

　　的探索學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。他們積累了大量令人難忘的成果。正因?yàn)樗麄兊呐Σ懦霈F(xiàn)了今天的PhotoShop、Corel DRAW等等著名的軟件， 以及各種計(jì)

　　算機(jī)藝術(shù)團(tuán)體組織學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。PhotoShop也成了某些美術(shù)專業(yè)學(xué)生的必修課。

　　當(dāng)今時(shí)代出現(xiàn)的充滿科技含量的"分形藝術(shù)"又不同于運(yùn)用PhotoShop從事的計(jì)算機(jī)藝術(shù)創(chuàng)作學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。 "分形藝術(shù)"是純數(shù)學(xué)產(chǎn)物，是否能算得

　　上藝術(shù)必然會(huì)引起新的爭(zhēng)論學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。爭(zhēng)論最活躍的問題是：分形圖形是純數(shù)學(xué)產(chǎn)物能算得上藝術(shù)嗎？既然學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和程序設(shè)計(jì)就可以從事藝

　　術(shù)創(chuàng)作了學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大，學(xué)習(xí)美術(shù)專業(yè)還有什么用處呢？

　　這個(gè)問題提的好學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。從事分形藝術(shù)創(chuàng)作的人要研究產(chǎn)生這些圖形的數(shù)學(xué)算法，這些算法產(chǎn)生的圖形是無限的。他們沒有結(jié)束，你永遠(yuǎn)不

　　能看見它的全部學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。你不斷放大她們的局部，也許你可能正在發(fā)現(xiàn)前人沒曾見到過的圖案。這些圖案可能是非常精彩的。她們與現(xiàn)實(shí)世

　　界相符合，從浩瀚廣闊的宇宙空間到極精致的細(xì)節(jié)，是完全可以用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來描述的學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。另一個(gè)的問題是顏色，好的顏色選擇，就可以

　　得到一幅奇妙的圖形學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。糟糕的選擇，你得到的就是垃圾。所以說，創(chuàng)造分形藝術(shù)，最好再學(xué)一點(diǎn)繪畫基礎(chǔ)、色彩學(xué)等，那將是大有益

　　處學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。

　　分形幾何沖擊著不同的學(xué)術(shù)領(lǐng)域，她在藝術(shù)領(lǐng)域顯示出非凡的作用學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。創(chuàng)作精美的分形藝術(shù)是國內(nèi)外分形藝術(shù)家們的人生追求，總有一

　　天分形藝術(shù)會(huì)登上大雅藝術(shù)殿堂學(xué)術(shù)海報(bào)尺寸一般多大。